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4)
beschleunigte Bewegung t = [[root symbol]] 25/g, so wird das [[1te?]] Element in II (wegen der doppelten Beschleunigung) in [[underlined]] derselben [[/underlined]] Zeit durchlaufen, wie das [[1te?]] Element in I. Die Anfangsgeschwindigkeit bei 2 ist wegen v = [[root symbol]] 2gs in II doppelt so groß, wie in I. Folglich gilt die [[underlined]] Gleichzeitigkeit [[/underlined]] auch für die Elemente 2, ebenso für 3 u.s.w. Die Verallgemeinerung bei [[?]] Excursion ist selbstverständlich.
Nehmen wir nun in zwei Fällen I u. II die Anfangsexcursion gleich, die Beschleunigungen aber, welche diesen Excursionen entsprechen, in II viermal so groß, wie in I. Wir theilen die Wege in eine gleiche Elementanzahl. 
[[margin]] [[image]] [[/margin]]
Die Elemente werden gleich. Das erste Element in II wird wegen t = [[root symbol]] 25/g in der selben Zeit durchlaufen, wie in I u. hierbei wegen v = [[root symbol]] 2gs die [[underlined]] doppelte [[/underlined]] Endgeschwindigkeit erreicht, wie in I. Da nun auch die Beschleunigungen und Geschwindigkeiten für die folgenden Elemente in denselben Verhältnissen stehn, so wird die ganze Schwingung in II in der halben Zeit ausgeführt, wie in I.
Die [[underlined]] Schwingungszeiten [[/underlined]] verhalten sich verkehrt wie die Wurzeln aus den Beschleunigungen bei gleichen Excursionen oder wie die Wurzeln aus den Beschleunigungen bei der Excursionseinheit. 
Folglich beim Pendeln wenn l die Länge, [[greek letter alpha]] der Ausschlagswinkel, al die Excursion, u. [[greek letter alpha]]g [[?]] die 
[[right margin]] al oder [[alpha]]l? [[/right margin]]
Beschleunigung. Also ag/[[alpha]]l die Beschleunigung bei der Excursionseinheit, also T proportional [[root symbol]] l/g 
T = K[[root symbol]]l/g.
Oder: Wenn ein Punkt in einem Kreise vom Radius r mit der Umlaufzeit T geschwungen wird, so ergibt sich bekanntlich leicht die hierbei bestehende Centripetalbeschleunigung.
[[greek letter Phi]] = 4r[[greek letter Pi]]²/T²
[[margin]] [[image]] [[/margin]]
Man denke sich nun diese Beschleunigung u. die Bewegung noch zwei zu einander senkrechten Durchmessern zerlegt (Schwingungen).
Die der x Bewegung entsprechende Beschleunigung [[Phi]] = [[Phi]]cos[[alpha]] = [[Phi]]x/r ist proportional der Excursion x. Die Beschleunigung für die Einheit der Excursion f = [[Phi]]/r = 4[[Pi]]²/T². Weil die Umlaufzeit im Kreise mit der Schwingungsdauer der Schwingungscomponente identisch ist. 
T = 2[[Pi]] [[root symbol]] i/f
[[right margin]] x = r*cos[[alpha]] also
x/r = cos [[alpha]] daher
[[Phi]]x/r = [[Phi]]*cos[[alpha]]
[[/right margin]]
Für das Pendel ist nun f = g/l u. weil die selben Schwingungen gezählt werden T = [[Pi]] [[root symbol]]l/S.
[[margin]] [[image]] [[/margin]]

MN sphärische kreisende Fläche
AB [[dxe?]]
m sehr klein, kann betrachtet werden als Bogen gehörig zu den Radien [[alpha]], r, a 
              ......Winkeln [[Phi]],[[Psi]],x
                          {x,[[Psi]][[Phi]]}?

also: m = a[[Phi]]       [[Phi]] = m/a  }
      m = r[[Psi]]  also [[Psi]] = m/r  }I
      m = [[alpha]]x     x = m/[[alpha]]}

sin([[Phi]]+[[Psi]])
-------------------- = n 
Sin([[Psi]]-x)

               [[Phi]]+[[Psi]]
also annähernd --------------- = n
               [[Psi]] - x

also [[Phi]]+[[Psi]] = n([[Phi]] - x).[[?]] I
1/r + n/[[alpha]] = n - 1/a ?

Die Werthe 1/a + n/[[alpha]] = n - 1/r

(Sphärischer Spiegel wenn n = -1
weil m ausfällt homocentrisch.